Distribuição de Poisson: o que é e como calcular?

A Distribuição de Poisson é uma das ferramentas estatísticas mais importantes quando se trata de modelar eventos que ocorrem de forma esporádica, mas mensurável. Ela é amplamente utilizada em áreas como atendimento ao cliente, logística, saúde, tráfego e qualidade industrial.

Neste artigo, você vai entender o conceito da distribuição, quando utilizá-la, como calcular probabilidades e como aplicar no mundo real.

O que é a Distribuição de Poisson?

A distribuição de Poisson, nomeada em homenagem ao matemático francês Siméon Denis Poisson, é um modelo de probabilidade utilizado para descrever a ocorrência de eventos discretos dentro de um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos:

• São raros (não ocorrem com muita frequência),

• São independentes entre si,

• Acontecem com uma taxa média constante (λ),

• E o número de ocorrências pode ser expresso como contagens inteiras não negativas (0, 1, 2, ...).

Esse modelo é ideal para quantificar eventos aleatórios, como o número de chamadas recebidas por um call center por hora ou o número de acessos simultâneos a um site.

Quais são os parâmetros da Distribuição de Poisson?

A distribuição depende de apenas um parâmetro:

• λ (lambda): representa a média de ocorrências do evento por unidade de tempo ou espaço.

O segundo valor a ser definido é o número de eventos (X) para o qual desejamos calcular a probabilidade. A fórmula de Poisson é:

Onde:

• e é a constante de Euler (~2,718),

• x é o número de ocorrências desejadas,

• x! é o fatorial de x.

Quando utilizar a Distribuição de Poisson?

A Poisson é apropriada quando você precisa responder perguntas como:

• Qual a chance de acontecerem 3 acidentes em uma semana?

• Qual a probabilidade de recebermos mais de 10 ligações numa hora?

• Qual a frequência esperada de defeitos em 100 peças?

Ela é especialmente útil quando:

• Os eventos são relativamente raros.

• Os eventos ocorrem de forma aleatória, mas com média constante.

• Estamos lidando com contagem de ocorrências, e não com medições contínuas (como tempo ou peso).

Condições para aplicação da Poisson

A aplicação correta da distribuição depende do cumprimento de alguns critérios importantes:

1. Independência dos eventos: a ocorrência de um evento não afeta outro.

2. Taxa constante: λ não muda durante o intervalo observado.

3. Eventos únicos: dois eventos não podem ocorrer exatamente ao mesmo tempo (o que se chama de “eventos mutuamente exclusivos”).

4. Eventos raros: a frequência de ocorrência é baixa comparada ao tamanho do intervalo analisado.

Propriedades importantes da Poisson

• A média é igual à variância: ambas são iguais a λ.

• Distribuição discreta: modela apenas contagens (valores inteiros).

• Assimétrica: especialmente para valores baixos de λ.

• Convergência para Normal: para valores altos de λ (geralmente λ > 30), a Poisson se aproxima da distribuição normal, facilitando o uso de métodos aproximados.

Exemplos práticos de aplicação

A Distribuição de Poisson é extremamente versátil e aparece em diferentes setores. Veja alguns exemplos reais:

• Indústria: número de defeitos por lote de produção.

• Call Center: chamadas recebidas por hora.

• Trânsito: número de acidentes em um cruzamento por mês.

• TI: número de falhas de um servidor por dia.

• Saúde Pública: número de novos casos de uma doença rara por região.

Exemplo prático:

Imagine que um hospital recebe, em média, 4 chamadas de emergência por hora. Qual a probabilidade de receber exatamente 6 chamadas em uma hora?

Aplicamos a fórmula:

Ou seja, há cerca de 10,4% de chance de o hospital receber exatamente 6 chamadas em uma hora.

Como calcular probabilidades com a Distribuição de Poisson?

Você pode calcular probabilidades individuais (exatamente x ocorrências) ou acumuladas (até x, ou mais que x). Exemplos:

• P(X = 0): chance de não acontecer nenhum evento.

• P(X ≤ 2): somatório das probabilidades de 0, 1 e 2 ocorrências.

• P(X > 4): 1 − P(X ≤ 4)

Esses cálculos podem ser feitos manualmente ou com apoio de ferramentas como:

• Planilhas Excel/Google Sheets (=POISSON.DIST(x, lambda, cumulativo))

• Linguagens como Python (scipy.stats.poisson)

• Calculadoras online estatísticas

Variações e limitações da Poisson

Embora bastante útil, a Poisson tem limitações. Ela não deve ser usada se:

• A taxa λ não for constante (ex: sazonalidade);

• Os eventos não forem independentes;

• A frequência for muito alta e os dados já se comportam como distribuição normal.

Para situações mais complexas, pode-se considerar modelos alternativos como a Binomial, Exponencial ou até modelos de Poisson Generalizada, utilizados em regressões.

Aplicação prática em análise de dados

A Distribuição de Poisson é amplamente aplicada em ciência de dados, principalmente na construção de modelos preditivos e no entendimento de processos operacionais.

Em análise de dados empresariais, ela permite prever gargalos, planejar escalas de atendimento e identificar padrões anômalos de comportamento.

No curso de Cientista de Dados da DNC, por exemplo, os alunos aprendem como usar distribuições como a de Poisson para tomar decisões baseadas em dados reais, por meio de ferramentas como Python, SQL e Power BI.

Conclusão

A Distribuição de Poisson é uma ferramenta estatística poderosa para lidar com eventos contáveis, raros e independentes, permitindo cálculos precisos e rápidos para apoiar decisões em diversas áreas.

Se você trabalha (ou quer trabalhar) com análise de dados, entender e aplicar esse tipo de distribuição é um diferencial importante para análises precisas e estratégicas.